二叉树¶

「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着 “一分为二” 的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#

/* 链表结点类 */
class TreeNode {
    int val;         // 结点值
    TreeNode left;   // 左子结点指针
    TreeNode right;  // 右子结点指针
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

/* 链表结点结构体 */
struct TreeNode {
    int val;          // 结点值
    TreeNode *left;   // 左子结点指针
    TreeNode *right;  // 右子结点指针
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

""" 链表结点类 """
class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val      # 结点值
        self.left = left    # 左子结点指针
        self.right = right  # 右子结点指针

""" 链表结点类 """
type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}
""" 结点初始化方法 """
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
    return &TreeNode{
        Left:  nil,
        Right: nil,
        Val:   v,
    }
}

/* 链表结点类 */
function TreeNode(val, left, right) {
    this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
    this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
    this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
}

/* 链表结点类 */
class TreeNode {
    val: number;
    left: TreeNode | null;
    right: TreeNode | null;

    constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
        this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
        this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
    }
}

结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。

binary_tree_definition

Fig. 子结点与子树

需要注意，父结点、子结点、子树是可以向下递推的。例如，如果将上图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 以下的树」和「结点 5 以下的树」。

二叉树常见术语¶

二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。

「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 \(\text{null}\) ；
结点所处「层 Level」：从顶置底依次增加，根结点所处层为 1 ；
结点「度 Degree」：结点的子结点数量，二叉树中度的范围是 0, 1, 2 ；
「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
结点「深度 Depth」：根结点到该结点走过边的数量；
结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；

binary_tree_terminology

Fig. 二叉树的常见术语

高度与深度的定义

值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。

二叉树最佳和最差结构¶

当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。

binary_tree_corner_cases

Fig. 二叉树的最佳和最差结构

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。

	完美二叉树	链表
第 \(i\) 层的结点数量	\(2^{i-1}\)	\(1\)
树的高度为 \(h\) 时的叶结点数量	\(2^h\)	\(1\)
树的高度为 \(h\) 时的结点总数	\(2^{h+1} - 1\)	\(h + 1\)
树的结点总数为 \(n\) 时的高度	\(\log_2 (n+1) - 1\)	\(n - 1\)

二叉树基本操作¶

初始化二叉树。 与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#

binary_tree.java

// 初始化结点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;

binary_tree.cpp

/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;

binary_tree.py

binary_tree.go

/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// 构建引用指向（即指针）
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5

binary_tree.js

/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;

binary_tree.ts

/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;

binary_tree.c

binary_tree.cs

插入与删除结点。 与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。

binary_tree_add_remove

Fig. 在二叉树中插入与删除结点

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#

binary_tree.java

TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
n1.left = n2;

binary_tree.cpp

/* 插入与删除结点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除结点 P
n1->left = n2;

binary_tree.py

binary_tree.go

/* 插入与删除结点 */
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// 删除结点 P
n1.Left = n2

binary_tree.js

/* 插入与删除结点 */
let P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
n1.left = n2;

binary_tree.ts

/* 插入与删除结点 */
const P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
n1.left = n2;

binary_tree.c

binary_tree.cs

Note

插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。

二叉树遍历¶

非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。

层序遍历¶

「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。

层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种 “一圈一圈向外” 的层进遍历方式。

binary_tree_bfs

Fig. 二叉树的层序遍历

广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是 “先进先出” ，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#

binary_tree_bfs.java

/* 层序遍历 */
List<Integer> hierOrder(TreeNode root) {
    // 初始化队列，加入根结点
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode node = queue.poll();  // 队列出队
        list.add(node.val);            // 保存结点值
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left);    // 左子结点入队
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right);   // 右子结点入队
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.cpp

/* 层序遍历 */
vector<int> hierOrder(TreeNode* root) {
    // 初始化队列，加入根结点
    queue<TreeNode*> queue;
    queue.push(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    vector<int> vec;
    while (!queue.empty()) {
        TreeNode* node = queue.front();
        queue.pop();  // 队列出队
        vec.push_back(node->val);            // 保存结点
        if (node->left != nullptr)
            queue.push(node->left);    // 左子结点入队
        if (node->right != nullptr)
            queue.push(node->right);   // 右子结点入队
    }
    return vec;
}

binary_tree_bfs.py

binary_tree_bfs.go

/* 层序遍历 */
func levelOrder(root *TreeNode) []int {
    // 初始化队列，加入根结点
    queue := list.New()
    queue.PushBack(root)
    // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
    nums := make([]int, 0)
    for queue.Len() > 0 {
        // poll
        node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
        // 保存结点
        nums = append(nums, node.Val)
        if node.Left != nil {
            // 左子结点入队
            queue.PushBack(node.Left)
        }
        if node.Right != nil {
            // 右子结点入队
            queue.PushBack(node.Right)
        }
    }
    return nums
}

binary_tree_bfs.js

/* 层序遍历 */
function hierOrder(root) {
    // 初始化队列，加入根结点
    let queue = [root];
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    let list = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift();  // 队列出队
        list.push(node.val);          // 保存结点
        if (node.left)
            queue.push(node.left);    // 左子结点入队
        if (node.right)
            queue.push(node.right);   // 右子结点入队
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.ts

/* 层序遍历 */
function hierOrder(root: TreeNode | null): number[] {
    // 初始化队列，加入根结点
    const queue = [root];
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    const list: number[] = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
        list.push(node.val); // 保存结点
        if (node.left) {
            queue.push(node.left); // 左子结点入队
        }
        if (node.right) {
            queue.push(node.right); // 右子结点入队
        }
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.c

binary_tree_bfs.cs

前序、中序、后序遍历¶

相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种 “先走到尽头，再回头继续” 的回溯遍历方式。

如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围 “走” 一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。

binary_tree_dfs

Fig. 二叉树的前 / 中 / 后序遍历

位置	含义	此处访问结点时对应
橙色圆圈处	刚进入此结点，即将访问该结点的左子树	前序遍历 Pre-Order Traversal
蓝色圆圈处	已访问完左子树，即将访问右子树	中序遍历 In-Order Traversal
紫色圆圈处	已访问完左子树和右子树，即将返回	后序遍历 Post-Order Traversal

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#

binary_tree_dfs.java

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    list.add(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.add(root.val);
}

binary_tree_dfs.cpp

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    vec.push_back(root->val);
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root->left);
    vec.push_back(root->val);
    inOrder(root->right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    vec.push_back(root->val);
}

binary_tree_dfs.py

binary_tree_dfs.go

/* 前序遍历 */
func preOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    nums = append(nums, node.Val)
    preOrder(node.Left)
    preOrder(node.Right)
}

/* 中序遍历 */
func inOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(node.Left)
    nums = append(nums, node.Val)
    inOrder(node.Right)
}

/* 后序遍历 */
func postOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(node.Left)
    postOrder(node.Right)
    nums = append(nums, node.Val)
}

binary_tree_dfs.js

/* 前序遍历 */
function preOrder(root){
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

binary_tree_dfs.ts

/* 前序遍历 */
function preOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

binary_tree_dfs.c

binary_tree_dfs.cs

Note

使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。