哈希表¶
哈希表通过建立「键 key」和「值 value」之间的映射，实现高效的元素查找。具体地，输入一个 key ，在哈希表中查询并获取 value ，时间复杂度为 \(O(1)\) 。
例如，给定一个包含 \(n\) 个学生的数据库，每个学生有 "姓名 name ” 和 “学号 id ” 两项数据，希望实现一个查询功能：输入一个学号，返回对应的姓名，则可以使用哈希表实现。
Fig. 哈希表抽象表示
哈希表优势¶
除了哈希表之外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能：
- 无序数组： 每个元素为
[学号, 姓名]； - 有序数组： 将
1.中的数组按照学号从小到大排序； - 链表： 每个结点的值为
[学号, 姓名]； - 二叉搜索树： 每个结点的值为
[学号, 姓名]，根据学号大小来构建树；
使用上述方法，各项操作的时间复杂度如下表所示（在此不做赘述，详解可见 二叉搜索树章节）。无论是查找元素、还是增删元素，哈希表的时间复杂度都是 \(O(1)\) ，全面胜出！
| 无序数组 | 有序数组 | 链表 | 二叉搜索树 | 哈希表 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 查找元素 | \(O(n)\) | \(O(\log n)\) | \(O(n)\) | \(O(\log n)\) | \(O(1)\) |
| 插入元素 | \(O(1)\) | \(O(n)\) | \(O(1)\) | \(O(\log n)\) | \(O(1)\) |
| 删除元素 | \(O(n)\) | \(O(n)\) | \(O(n)\) | \(O(\log n)\) | \(O(1)\) |
哈希表常用操作¶
哈希表的基本操作包括 初始化、查询操作、添加与删除键值对。
hash_map.java
/* 初始化哈希表 */
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.put(12836, "小哈");
map.put(15937, "小啰");
map.put(16750, "小算");
map.put(13276, "小法");
map.put(10583, "小鸭");
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
String name = map.get(15937);
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.remove(10583);
hash_map.cpp
/* 初始化哈希表 */
unordered_map<int, string> map;
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map[12836] = "小哈";
map[15937] = "小啰";
map[16750] = "小算";
map[13276] = "小法";
map[10583] = "小鸭";
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
string name = map[15937];
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.erase(10583);
hash_map_test.go
/* 初始化哈希表 */
mapp := make(map[int]string)
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
mapp[12836] = "小哈"
mapp[15937] = "小啰"
mapp[16750] = "小算"
mapp[13276] = "小法"
mapp[10583] = "小鸭"
/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
name := mapp[15937]
/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
delete(mapp, 10583)
遍历哈希表有三种方式，即 遍历键值对、遍历键、遍历值。
hash_map.java
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (Map.Entry <Integer, String> kv: map.entrySet()) {
System.out.println(kv.getKey() + " -> " + kv.getValue());
}
// 单独遍历键 key
for (int key: map.keySet()) {
System.out.println(key);
}
// 单独遍历值 value
for (String val: map.values()) {
System.out.println(val);
}
哈希函数¶
哈希表中存储元素的数据结构被称为「桶 Bucket」，底层实现可能是数组、链表、二叉树（红黑树），或是它们的组合。
最简单地，我们可以仅用一个「数组」来实现哈希表。首先，将所有 value 放入数组中，那么每个 value 在数组中都有唯一的「索引」。显然，访问 value 需要给定索引，而为了 建立 key 和索引之间的映射关系，我们需要使用「哈希函数 Hash Function」。
设数组为 bucket ，哈希函数为 f(x) ，输入键为 key 。那么获取 value 的步骤为：
- 通过哈希函数计算出索引，即
index = f(key)； - 通过索引在数组中获取值，即
value = bucket[index]；
以上述学生数据 key 学号 -> value 姓名 为例，我们可以将「哈希函数」设计为
\[
f(x) = x \% 100
\]
Fig. 哈希函数
array_hash_map.java
/* 键值对 int->String */
class Entry {
public int key; // 键
public String val; // 值
public Entry(int key, String val) {
this.key = key;
this.val = val;
}
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private List<Entry> bucket;
public ArrayHashMap() {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
bucket = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < 100; i++) {
bucket.add(null);
}
}
/* 哈希函数 */
private int hashFunc(int key) {
int index = key % 100;
return index;
}
/* 查询操作 */
public String get(int key) {
int index = hashFunc(key);
Entry pair = bucket.get(index);
if (pair == null) return null;
return pair.val;
}
/* 添加操作 */
public void put(int key, String val) {
Entry pair = new Entry(key, val);
int index = hashFunc(key);
bucket.set(index, pair);
}
/* 删除操作 */
public void remove(int key) {
int index = hashFunc(key);
// 置为 null，代表删除
bucket.set(index, null);
}
}
array_hash_map.cpp
/* 键值对 int->String */
struct Entry {
public:
int key;
string val;
Entry(int key, string val) {
this->key = key;
this->val = val;
}
};
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private:
vector<Entry*> bucket;
public:
ArrayHashMap() {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
bucket= vector<Entry*>(100);
}
/* 哈希函数 */
int hashFunc(int key) {
int index = key % 100;
return index;
}
/* 查询操作 */
string get(int key) {
int index = hashFunc(key);
Entry* pair = bucket[index];
return pair->val;
}
/* 添加操作 */
void put(int key, string val) {
Entry* pair = new Entry(key, val);
int index = hashFunc(key);
bucket[index] = pair;
}
/* 删除操作 */
void remove(int key) {
int index = hashFunc(key);
// 置为空字符，代表删除
bucket[index] = nullptr;
}
};
array_hash_map.py
""" 键值对 int->String """
class Entry:
def __init__(self, key, val):
self.key = key
self.val = val
""" 基于数组简易实现的哈希表 """
class ArrayHashMap:
def __init__(self):
# 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
self.bucket = [None] * 100
""" 哈希函数 """
def hashFunc(self, key):
index = key % 100
return index
""" 查询操作 """
def get(self, key):
index = self.hashFunc(key)
pair = self.bucket[index]
if pair is None:
return None
return pair.val
""" 添加操作 """
def put(self, key, val):
pair = Entry(key, val)
index = self.hashFunc(key)
self.bucket[index] = pair
""" 删除操作 """
def remove(self, key):
index = self.hashFunc(key)
# 置为空字符，代表删除
self.bucket[index] = None
array_hash_map.go
/* 键值对 int->String */
type Entry struct {
key int
val string
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
type ArrayHashMap struct {
bucket []*Entry
}
func newArrayHashMap() *ArrayHashMap {
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
bucket := make([]*Entry, 100)
return &ArrayHashMap{bucket: bucket}
}
/* 哈希函数 */
func (a *ArrayHashMap) hashFunc(key int) int {
index := key % 100
return index
}
/* 查询操作 */
func (a *ArrayHashMap) get(key int) string {
index := a.hashFunc(key)
pair := a.bucket[index]
if pair == nil {
return "Not Found"
}
return pair.val
}
/* 添加操作 */
func (a *ArrayHashMap) put(key int, val string) {
pair := &Entry{key: key, val: val}
index := a.hashFunc(key)
a.bucket[index] = pair
}
/* 删除操作 */
func (a *ArrayHashMap) remove(key int) {
index := a.hashFunc(key)
// 置为空字符，代表删除
a.bucket[index] = nil
}
哈希冲突¶
细心的同学可能会发现，哈希函数 \(f(x) = x \% 100\) 会在某些情况下失效。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 12836 和 20336 ，则有
\[
f(12836) = f(20336) = 36
\]
两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」，其会严重影响查询的正确性。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。
Fig. 哈希冲突
综上所述，一个优秀的「哈希函数」应该具备以下特性：
- 尽量少地发生哈希冲突；
- 时间复杂度 \(O(1)\) ，计算尽可能高效；
- 空间使用率高，即 “键值对占用空间 / 哈希表总占用空间” 尽可能大；