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二叉搜索树

「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：

  1. 对于根结点，左子树中所有结点的值 \(<\) 根结点的值 \(<\) 右子树中所有结点的值；
  2. 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 1. ；

binary_search_tree

二叉搜索树的操作

查找结点

给定目标结点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 cur ，从二叉树的根结点 root 出发，循环比较结点值 cur.val 和 num 之间的大小关系

  • 若 cur.val < val ，说明目标结点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right ；
  • 若 cur.val > val ，说明目标结点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left ；
  • 若 cur.val = val ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；

bst_search_1

bst_search_2

bst_search_3

bst_search_4

二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 \(O(\log n)\) 时间。

binary_search_tree.java
/* 查找结点 */
TreeNode search(int num) {
    TreeNode cur = root;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标结点在 root 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标结点在 root 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标结点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标结点
    return cur;
}
binary_search_tree.cpp
/* 查找结点 */
TreeNode* search(int num) {
    TreeNode* cur = root;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 目标结点在 root 的右子树中
        if (cur->val < num) cur = cur->right;
        // 目标结点在 root 的左子树中
        else if (cur->val > num) cur = cur->left;
        // 找到目标结点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标结点
    return cur;
}
binary_search_tree.py
binary_search_tree.go
/* 查找结点 */
func (bst *BinarySearchTree) Search(num int) *TreeNode {
    node := bst.root
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    for node != nil {
        if node.Val < num {
            // 目标结点在 root 的右子树中
            node = node.Right
        } else if node.Val > num {
            // 目标结点在 root 的左子树中
            node = node.Left
        } else {
            // 找到目标结点，跳出循环
            break
        }
    }
    // 返回目标结点
    return node
}
binary_search_tree.js
/* 查找结点 */
function search(num) {
    let cur = root;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 目标结点在 root 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标结点在 root 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标结点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标结点
    return cur;
}
binary_search_tree.ts
/* 查找结点 */
function search(num: number): TreeNode | null {
    let cur = root;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur !== null) {
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right; // 目标结点在 root 的右子树中
        } else if (cur.val > num) {
            cur = cur.left; // 目标结点在 root 的左子树中
        } else {
            break; // 找到目标结点，跳出循环
        }
    }
    // 返回目标结点
    return cur;
}
binary_search_tree.c
binary_search_tree.cs

插入结点

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树 “左子树 < 根结点 < 右子树” 的性质，插入操作分为两步：

  1. 查找插入位置： 与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前结点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 \(\text{null}\) ）时跳出循环；
  2. 在该位置插入结点： 初始化结点 num ，将该结点放到 \(\text{null}\) 的位置 ；

二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。

bst_insert

binary_search_tree.java
/* 插入结点 */
TreeNode insert(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return null;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复结点，直接返回
        if (cur.val == num) return null;
        pre = cur;
        // 插入位置在 root 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 root 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入结点 val
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
    return node;
}
binary_search_tree.cpp
/* 插入结点 */
TreeNode* insert(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == nullptr) return nullptr;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到重复结点，直接返回
        if (cur->val == num) return nullptr;
        pre = cur;
        // 插入位置在 root 的右子树中
        if (cur->val < num) cur = cur->right;
        // 插入位置在 root 的左子树中
        else cur = cur->left;
    }
    // 插入结点 val
    TreeNode* node = new TreeNode(num);
    if (pre->val < num) pre->right = node;
    else pre->left = node;
    return node;
}
binary_search_tree.py
binary_search_tree.go
/* 插入结点 */
func (bst *BinarySearchTree) Insert(num int) *TreeNode {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 待插入结点之前的结点位置
    var prev *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            return nil
        }
        prev = cur
        if cur.Val < num {
            cur = cur.Right
        } else {
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 插入结点
    node := NewTreeNode(num)
    if prev.Val < num {
        prev.Right = node
    } else {
        prev.Left = node
    }
    return cur
}
binary_search_tree.js
/* 插入结点 */
function insert(num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) return null;
    let cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到重复结点，直接返回
        if (cur.val === num) return null;
        pre = cur;
        // 插入位置在 root 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 root 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入结点 val
    let node = new Tree.TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
    return node;
}
binary_search_tree.ts
/* 插入结点 */
function insert(num: number): TreeNode | null {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) {
        return null;
    }
    let cur = root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur !== null) {
        if (cur.val === num) {
            return null; // 找到重复结点，直接返回
        }
        pre = cur;
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right as TreeNode; // 插入位置在 root 的右子树中
        } else {
            cur = cur.left as TreeNode; // 插入位置在 root 的左子树中
        }
    }
    // 插入结点 val
    let node = new TreeNode(num);
    if (pre!.val < num) {
        pre!.right = node;
    } else {
        pre!.left = node;
    }
    return node;
}
binary_search_tree.c
binary_search_tree.cs

为了插入结点，需要借助 辅助结点 prev 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 \(\text{null}\) 时，我们也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作。

与查找结点相同，插入结点使用 \(O(\log n)\) 时间。

删除结点

与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的 “左子树 < 根结点 < 右子树” 的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：

待删除结点的子结点数量 \(= 0\) 。 表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。

bst_remove_case1

待删除结点的子结点数量 \(= 1\) 。 将待删除结点替换为其子结点。

bst_remove_case2

待删除结点的子结点数量 \(= 2\) 。 删除操作分为三步：

  1. 找到待删除结点在 中序遍历序列 中的下一个结点，记为 nex ；
  2. 在树中递归删除结点 nex ；
  3. 使用 nex 替换待删除结点；

bst_remove_case3_1

bst_remove_case3_2

bst_remove_case3_3

bst_remove_case3_4

删除结点操作也使用 \(O(\log n)\) 时间，其中查找待删除结点 \(O(\log n)\) ，获取中序遍历后继结点 \(O(\log n)\) 。

binary_search_tree.java
/* 删除结点 */
TreeNode remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return null;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除结点，跳出循环
        if (cur.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除结点在 root 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除结点在 root 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除结点，则直接返回
    if (cur == null) return null;
    // 子结点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
        TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // 删除结点 cur
        if (pre.left == cur) pre.left = child;
        else pre.right = child;
    }
    // 子结点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
        TreeNode nex = min(cur.right);
        int tmp = nex.val;
        // 递归删除结点 nex
        remove(nex.val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur.val = tmp;
    }
    return cur;
}
/* 获取最小结点 */
TreeNode min(TreeNode root) {
    if (root == null) return root;
    // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
    while (root.left != null) {
        root = root.left;
    }
    return root;
}
binary_search_tree.cpp
/* 删除结点 */
TreeNode* remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == nullptr) return nullptr;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到待删除结点，跳出循环
        if (cur->val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除结点在 root 的右子树中
        if (cur->val < num) cur = cur->right;
        // 待删除结点在 root 的左子树中
        else cur = cur->left;
    }
    // 若无待删除结点，则直接返回
    if (cur == nullptr) return nullptr;
    // 子结点数量 = 0 or 1
    if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
        // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子结点
        TreeNode* child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
        // 删除结点 cur
        if (pre->left == cur) pre->left = child;
        else pre->right = child;
    }
    // 子结点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
        TreeNode* nex = min(cur->right);
        int tmp = nex->val;
        // 递归删除结点 nex
        remove(nex->val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur->val = tmp;
    }
    return cur;
}
/* 获取最小结点 */
TreeNode* min(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return root;
    // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
    while (root->left != nullptr) {
        root = root->left;
    }
    return root;
}
binary_search_tree.py
binary_search_tree.go
/* 删除结点 */
func (bst *BinarySearchTree) Remove(num int) *TreeNode {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 待删除结点之前的结点位置
    var prev *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            break
        }
        prev = cur
        if cur.Val < num {
            // 待删除结点在右子树中
            cur = cur.Right
        } else {
            // 待删除结点在左子树中
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 若无待删除结点，则直接返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 子结点数为 0 或 1
    if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
        var child *TreeNode = nil
        // 取出待删除结点的子结点
        if cur.Left != nil {
            child = cur.Left
        } else {
            child = cur.Right
        }
        // 将子结点替换为待删除结点
        if prev.Left == cur {
            prev.Left = child
        } else {
            prev.Right = child
        }
        // 子结点数为 2
    } else {
        // 获取中序遍历中待删除结点 cur 的下一个结点
        next := bst.GetInorderNext(cur)
        temp := next.Val
        // 递归删除结点 next
        bst.Remove(next.Val)
        // 将 next 的值复制给 cur
        cur.Val = temp
    }
    return cur
}
binary_search_tree.js
/* 删除结点 */
function remove(num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) return null;
    let cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除结点，跳出循环
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 待删除结点在 root 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除结点在 root 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除结点，则直接返回
    if (cur === null) return null;
    // 子结点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
        let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除结点 cur
        if (pre.left === cur) pre.left = child;
        else pre.right = child;
    }
    // 子结点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
        let nex = min(cur.right);
        let tmp = nex.val;
        // 递归删除结点 nex
        remove(nex.val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur.val = tmp;
    }
    return cur;
}
binary_search_tree.ts
/* 删除结点 */
function remove(num: number): TreeNode | null {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) {
        return null;
    }
    let cur = root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除结点，跳出循环
        if (cur.val === num) {
            break;
        }
        pre = cur;
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right as TreeNode; // 待删除结点在 root 的右子树中
        } else {
            cur = cur.left as TreeNode; // 待删除结点在 root 的左子树中
        }
    }
    // 若无待删除结点，则直接返回
    if (cur === null) {
        return null;
    }
    // 子结点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
        let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除结点 cur
        if (pre!.left === cur) {
            pre!.left = child;
        } else {
            pre!.right = child;
        }
    }
    // 子结点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
        let next = min(cur.right);
        let tmp = next!.val;
        // 递归删除结点 nex
        remove(next!.val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur.val = tmp;
    }
    return cur;
}
binary_search_tree.c
binary_search_tree.cs

二叉搜索树的优势

假设给定 \(n\) 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：

  • 查找元素： 由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 \(O(n)\) 时间；
  • 插入元素： 只需将元素添加至数组尾部即可，使用 \(O(1)\) 时间；
  • 删除元素： 先查找元素，使用 \(O(\log n)\) 时间，再在数组中删除该元素，使用 \(O(n)\) 时间；
  • 获取最小 / 最大元素： 需要遍历数组来确定，使用 \(O(n)\) 时间；

为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：

  • 查找元素： 由于数组已排序，可以使用二分查找，使用 \(O(\log n)\) 时间；
  • 插入元素： 为了保持数组是有序的，需插入到数组某位置，平均使用 \(O(n)\) 时间；
  • 删除元素： 与无序数组中的情况相同，使用 \(O(n)\) 时间；
  • 获取最小 / 最大元素： 数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 \(O(1)\) 时间；

观察发现，无序数组和有序数组中的各类操作的时间复杂度是 “偏科” 的，即有的快有的慢；而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 \(n\) 很大时有巨大优势。

无序数组 有序数组 二叉搜索树
查找指定元素 \(O(n)\) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\)
插入元素 \(O(1)\) \(O(n)\) \(O(\log n)\)
删除元素 \(O(n)\) \(O(n)\) \(O(\log n)\)
获取最小 / 最大元素 \(O(n)\) \(O(1)\) \(O(\log n)\)

二叉搜索树的退化

理想情况下，我们希望二叉搜索树的是 “左右平衡” 的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 \(\log n\) 轮循环内查找任意结点。

如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，则可能导致二叉树退化为链表，此时各种操作的时间复杂度也退化之 \(O(n)\) 。

Note

在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。

bst_degradation

二叉搜索树常见应用

  • 系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作。
  • 各种搜索算法的底层数据结构。
  • 存储数据流，保持其已排序。