AVL 树 *¶
在「二叉搜索树」章节中提到,在进行多次插入与删除操作后,二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 \(O(\log n)\) 劣化至 \(O(n)\) 。
如下图所示,执行两步删除结点后,该二叉搜索树就会退化为链表。
再比如,在以下完美二叉树中插入两个结点后,树严重向左偏斜,查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中描述了一系列操作,使得在不断添加与删除结点后,AVL 树仍然不会发生退化,进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 \(O(\log n)\) 级别。
换言之,在频繁增删查改的使用场景中,AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率,具有很好的应用价值。
AVL 树常见术语¶
「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」,同时满足这两种二叉树的所有性质,因此又被称为「平衡二叉搜索树」。
结点高度¶
在 AVL 树的操作中,需要获取结点「高度 Height」,所以给 AVL 树的结点类添加 height
变量。
「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离,即走过的「边」的数量。需要特别注意,叶结点的高度为 0 ,空结点的高度为 -1 。我们封装两个工具函数,分别用于获取与更新结点的高度。
结点平衡因子¶
结点的「平衡因子 Balance Factor」是 结点的左子树高度减去右子树高度,并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地,我们将获取结点平衡因子封装成函数,以便后续使用。
Note
设平衡因子为 \(f\) ,则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 \(-1 \le f \le 1\) 。
AVL 树旋转¶
AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作,其可 在不影响二叉树中序遍历序列的前提下,使失衡结点重新恢复平衡。 换言之,旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」,也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。
我们将平衡因子的绝对值 \(> 1\) 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况,旋转操作分为 右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋,接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。
Case 1 - 右旋¶
如下图所示(结点下方为「平衡因子」),从底至顶看,二叉树中首个失衡结点是 结点 3 。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上,将该结点记为 node
,将其左子节点记为 child
,执行「右旋」操作。完成右旋后,该子树已经恢复平衡,并且仍然为二叉搜索树。
进而,如果结点 child
本身有右子结点(记为 grandChild
),则需要在「右旋」中添加一步:将 grandChild
作为 node
的左子结点。
“向右旋转” 是一种形象化的说法,实际需要通过修改结点指针实现,代码如下所示。
Case 2 - 左旋¶
类似地,如果将取上述失衡二叉树的 “镜像” ,那么则需要「左旋」操作。观察发现,「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的,两者对应解决的两种失衡情况也是对称的。
根据对称性,我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地,把所有的 left
替换为 right
、所有的 right
替换为 left
即可。
Case 3 - 先左后右¶
对于下图的失衡结点 3 ,单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡,此时需要「先左旋后右旋」,即先对 child
执行「左旋」,再对 node
执行「右旋」。
Case 4 - 先右后左¶
同理,取以上失衡二叉树的镜像,则需要「先右旋后左旋」,即先对 child
执行「右旋」,然后对 node
执行「左旋」。
旋转的选择¶
下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 一一对应,分别采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转组合。
具体地,需要使用 失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
失衡结点的平衡因子 | 子结点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
---|---|---|
\(>0\) (即左偏树) | \(\geq 0\) | 右旋 |
\(>0\) (即左偏树) | \(<0\) | 先左旋后右旋 |
\(<0\) (即右偏树) | \(\leq 0\) | 左旋 |
\(<0\) (即右偏树) | \(>0\) | 先右旋后左旋 |
根据以上规则,我们将旋转操作封装成一个函数。至此,我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况,使失衡结点重新恢复平衡。
/* 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */
TreeNode rotate(TreeNode node) {
// 获取结点 node 的平衡因子
int balanceFactor = balanceFactor(node);
// 左偏树
if (balanceFactor > 1) {
if (balanceFactor(node.left) >= 0) {
// 右旋
return rightRotate(node);
} else {
// 先左旋后右旋
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
}
// 右偏树
if (balanceFactor < -1) {
if (balanceFactor(node.right) <= 0) {
// 左旋
return leftRotate(node);
} else {
// 先右旋后左旋
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
}
// 平衡树,无需旋转,直接返回
return node;
}
AVL 树常用操作¶
插入结点¶
「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是,在插入结点后,从该结点到根结点的路径上会出现一系列「失衡结点」。所以,我们需要从该结点开始,从底至顶地执行旋转操作,使所有失衡结点恢复平衡。
/* 插入结点 */
TreeNode insert(int val) {
root = insertHelper(root, val);
return root;
}
/* 递归插入结点(辅助函数) */
TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {
if (node == null) return new TreeNode(val);
/* 1. 查找插入位置,并插入结点 */
if (val < node.val)
node.left = insertHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = insertHelper(node.right, val);
else
return node; // 重复结点不插入,直接返回
updateHeight(node); // 更新结点高度
/* 2. 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */
node = rotate(node);
// 返回子树的根节点
return node;
}
删除结点¶
「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地,在删除结点后,也需要从底至顶地执行旋转操作,使所有失衡结点恢复平衡。
/* 删除结点 */
TreeNode remove(int val) {
root = removeHelper(root, val);
return root;
}
/* 递归删除结点(辅助函数) */
TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {
if (node == null) return null;
/* 1. 查找结点,并删除之 */
if (val < node.val)
node.left = removeHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = removeHelper(node.right, val);
else {
if (node.left == null || node.right == null) {
TreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right;
// 子结点数量 = 0 ,直接删除 node 并返回
if (child == null)
return null;
// 子结点数量 = 1 ,直接删除 node
else
node = child;
} else {
// 子结点数量 = 2 ,则将中序遍历的下个结点删除,并用该结点替换当前结点
TreeNode temp = minNode(node.right);
node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
node.val = temp.val;
}
}
updateHeight(node); // 更新结点高度
/* 2. 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */
node = rotate(node);
// 返回子树的根节点
return node;
}
/* 获取最小结点 */
TreeNode minNode(TreeNode node) {
if (node == null) return node;
// 循环访问左子结点,直到叶结点时为最小结点,跳出
while (node.left != null) {
node = node.left;
}
return node;
}
查找结点¶
「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致,在此不再赘述。
AVL 树典型应用¶
- 组织存储大型数据,适用于高频查找、低频增删场景;
- 用于建立数据库中的索引系统;
为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎?
红黑树的平衡条件相对宽松,因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少,结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。