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快速排序

「快速排序 Quick Sort」是一种基于 “分治思想” 的排序算法，速度很快、应用很广。

快速排序的核心操作为「哨兵划分」，其目标为：选取数组某个元素为 基准数 ，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。「哨兵划分」的实现流程为：

  1. 以数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针 i , j 指向数组两端；
  2. 设置一个循环，每轮中使用 i / j 分别寻找首个比基准数大 / 小的元素，并交换此两元素；
  3. 不断循环步骤 2. ，直至 i , j 相遇时跳出，最终把基准数交换至两个子数组的分界线；

「哨兵划分」执行完毕后，原数组被划分成两个部分，即 左子数组 和 右子数组 ，且满足 左子数组任意元素 < 基准数 < 右子数组任意元素。因此，接下来我们只需要排序两个子数组即可。

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Fig. 哨兵划分

quick_sort.java
/* 元素交换 */
void swap(int[] nums, int i, int j) {
    int tmp = nums[i];
    nums[i] = nums[j];
    nums[j] = tmp;
}

/* 哨兵划分 */
int partition(int[] nums, int left, int right) {
    // 以 nums[left] 作为基准数
    int i = left, j = right;
    while (i < j) {
        while (i < j && nums[j] >= nums[left])
            j--;          // 从右向左找首个小于基准数的元素
        while (i < j && nums[i] <= nums[left])
            i++;          // 从左向右找首个大于基准数的元素
        swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
    }
    swap(nums, i, left);  // 将基准数交换至两子数组的分界线
    return i;             // 返回基准数的索引
}
quick_sort.cpp
/* 元素交换 */
void swap(vector<int>& nums, int i, int j) {
    int tmp = nums[i];
    nums[i] = nums[j];
    nums[j] = tmp;
}

/* 哨兵划分 */
int partition(vector<int>& nums, int left, int right) {
    // 以 nums[left] 作为基准数
    int i = left, j = right;
    while (i < j) {
        while (i < j && nums[j] >= nums[left])
            j--;          // 从右向左找首个小于基准数的元素
        while (i < j && nums[i] <= nums[left])
            i++;          // 从左向右找首个大于基准数的元素
        swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
    }
    swap(nums, i, left);  // 将基准数交换至两子数组的分界线
    return i;             // 返回基准数的索引
}
quick_sort.py
""" 哨兵划分 """
def partition(self, nums, left, right):
    # 以 nums[left] 作为基准数
    i, j = left, right
    while i < j:
        while i < j and nums[j] >= nums[left]:
            j -= 1  # 从右向左找首个小于基准数的元素
        while i < j and nums[i] <= nums[left]:
            i += 1  # 从左向右找首个大于基准数的元素
        # 元素交换
        nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    # 将基准数交换至两子数组的分界线
    nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]
    return i  # 返回基准数的索引
quick_sort.go
/* 哨兵划分 */
func partition(nums []int, left, right int) int {
    //以 nums[left] 作为基准数
    i, j := left, right
    for i < j {
        for i < j && nums[j] >= nums[left] {
            j-- //从右向左找首个小于基准数的元素
        }
        for i < j && nums[i] <= nums[left] {
            i++ //从左向右找首个大于基准数的元素
        }
        //元素交换
        nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    }
    //将基准数交换至两子数组的分界线
    nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i]
    return i //返回基准数的索引
}
quick_sort.js
/* 元素交换 */
function swap(nums, i, j) {
    let tmp = nums[i]
    nums[i] = nums[j]
    nums[j] = tmp
}

/* 哨兵划分 */
function partition(nums, left, right){
    // 以 nums[left] 作为基准数
    let i = left, j = right
    while(i < j){
        while(i < j && nums[j] >= nums[left]){
            j -= 1  // 从右向左找首个小于基准数的元素
        }
        while(i < j && nums[i] <= nums[left]){
            i += 1  // 从左向右找首个大于基准数的元素
        }
        // 元素交换
        swap(nums, i, j) // 交换这两个元素
    }
    swap(nums, i, left)  // 将基准数交换至两子数组的分界线
    return i  // 返回基准数的索引
}
quick_sort.ts
/* 元素交换 */
function swap(nums: number[], i: number, j: number): void {
    let tmp = nums[i];
    nums[i] = nums[j];
    nums[j] = tmp;
}

/* 哨兵划分 */
function partition(nums: number[], left: number, right: number): number {
    // 以 nums[left] 作为基准数
    let i = left, j = right;
    while (i < j) {
        while (i < j && nums[j] >= nums[left]) {
            j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
        }
        while (i < j && nums[i] <= nums[left]) {
            i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
        }
        // 元素交换
        swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
    }
    swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
    return i; // 返回基准数的索引
}
quick_sort.c
quick_sort.cs

快速排序的分治思想

哨兵划分的实质是将 一个长数组的排序问题 简化为 两个短数组的排序问题。

算法流程

  1. 首先，对数组执行一次「哨兵划分」，得到待排序的 左子数组 和 右子数组 。
  2. 接下来，对 左子数组 和 右子数组 分别 递归执行「哨兵划分」……
  3. 直至子数组长度为 1 时 终止递归 ，即可完成对整个数组的排序。

观察发现，快速排序和「二分查找」的原理类似，都是以对数阶的时间复杂度来缩小处理区间。

quick_sort

Fig. 快速排序流程

quick_sort.java
/* 快速排序 */
void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 子数组长度为 1 时终止递归
    if (left >= right)
        return;
    // 哨兵划分
    int pivot = partition(nums, left, right);
    // 递归左子数组、右子数组
    quickSort(nums, left, pivot - 1);
    quickSort(nums, pivot + 1, right);
}
quick_sort.cpp
/* 快速排序 */
static void quickSort(vector<int>& nums, int left, int right) {
    // 子数组长度为 1 时终止递归
    if (left >= right)
        return;
    // 哨兵划分
    int pivot = partition(nums, left, right);
    // 递归左子数组、右子数组
    quickSort(nums, left, pivot - 1);
    quickSort(nums, pivot + 1, right);
}
quick_sort.py
""" 快速排序 """
def quick_sort(self, nums, left, right):
    # 子数组长度为 1 时终止递归
    if left >= right:
        return
    # 哨兵划分
    pivot = self.partition(nums, left, right)
    # 递归左子数组、右子数组
    self.quick_sort(nums, left, pivot - 1)
    self.quick_sort(nums, pivot + 1, right)
quick_sort.go
/* 快速排序 */
func quickSort(nums []int, left, right int) {
    // 子数组长度为 1 时终止递归
    if left >= right {
        return
    }
    // 哨兵划分
    pivot := partition(nums, left, right)
    // 递归左子数组、右子数组
    quickSort(nums, left, pivot-1)
    quickSort(nums, pivot+1, right)
}
quick_sort.js
/* 快速排序 */
function quickSort(nums, left, right){
    // 子数组长度为 1 时终止递归
    if(left >= right) return
    // 哨兵划分
    const pivot = partition(nums, left, right)
    // 递归左子数组、右子数组
    quick_sort(nums, left, pivot - 1)
    quick_sort(nums, pivot + 1, right)
}
quick_sort.ts
/* 快速排序 */
function quickSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
    // 子数组长度为 1 时终止递归
    if (left >= right) {
        return;
    }
    // 哨兵划分
    const pivot = partition(nums, left, right);
    // 递归左子数组、右子数组
    quickSort(nums, left, pivot - 1);
    quickSort(nums, pivot + 1, right);
}
quick_sort.c
quick_sort.cs

算法特性

平均时间复杂度 \(O(n \log n)\) ： 平均情况下，哨兵划分的递归层数为 \(\log n\) ，每层中的总循环数为 \(n\) ，总体使用 \(O(n \log n)\) 时间。

最差时间复杂度 \(O(n^2)\) ： 最差情况下，哨兵划分操作将长度为 \(n\) 的数组划分为长度为 \(0\) 和 \(n - 1\) 的两个子数组，此时递归层数达到 \(n\) 层，每层中的循环数为 \(n\) ，总体使用 \(O(n^2)\) 时间。

空间复杂度 \(O(n)\) ： 输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 \(n\) 。

原地排序： 只在递归中使用 \(O(\log n)\) 大小的栈帧空间。

非稳定排序： 哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置。

自适应排序： 最差情况下，时间复杂度劣化至 \(O(n^2)\) 。

快排为什么快？

从命名能够看出，快速排序在效率方面一定 “有两把刷子” 。快速排序的平均时间复杂度虽然与「归并排序」和「堆排序」一致，但实际 效率更高 ，这是因为：

  • 出现最差情况的概率很低： 虽然快速排序的最差时间复杂度为 \(O(n^2)\) ，不如归并排序，但绝大部分情况下，快速排序可以达到 \(O(n \log n)\) 的复杂度。
  • 缓存使用效率高： 哨兵划分操作时，将整个子数组加载入缓存中，访问元素效率很高。而诸如「堆排序」需要跳跃式访问元素，因此不具有此特性。
  • 复杂度的常数系数低： 在提及的三种算法中，快速排序的 比较、赋值、交换 三种操作的总体数量最少（类似于「插入排序」快于「冒泡排序」的原因）。

基准数优化

普通快速排序在某些输入下的时间效率变差。 举个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选取最左端元素为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，从而 左子数组长度为 \(n - 1\) 、右子数组长度为 \(0\) 。这样进一步递归下去，每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 \(0\) ，分治策略失效，快速排序退化为「冒泡排序」了。

为了尽量避免这种情况发生，我们可以优化一下基准数的选取策略。首先，在哨兵划分中，我们可以 随机选取一个元素作为基准数 。但如果运气很差，每次都选择到比较差的基准数，那么效率依然不好。

进一步地，我们可以在数组中选取 3 个候选元素（一般为数组的首、尾、中点元素），并将三个候选元素的中位数作为基准数，这样基准数 “既不大也不小” 的概率就大大提升了。当然，如果数组很长的话，我们也可以选取更多候选元素，来进一步提升算法的稳健性。采取该方法后，时间复杂度劣化至 \(O(n^2)\) 的概率极低。

quick_sort.java
/* 选取三个元素的中位数 */
int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    // 使用了异或操作来简化代码
    // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
    if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right]))
        return left;
    else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
        return mid;
    else
        return right;
}

/* 哨兵划分（三数取中值） */
int partition(int[] nums, int left, int right) {
    // 选取三个候选元素的中位数
    int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
    // 将中位数交换至数组最左端
    swap(nums, left, med);
    // 以 nums[left] 作为基准数
    // 下同省略...
}
quick_sort.cpp
/* 选取三个元素的中位数 */
int medianThree(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {
    // 使用了异或操作来简化代码
    // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
    if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right]))
        return left;
    else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
        return mid;
    else
        return right;
}

/* 哨兵划分（三数取中值） */
int partition(vector<int>& nums, int left, int right) {
    // 选取三个候选元素的中位数
    int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
    // 将中位数交换至数组最左端
    swap(nums, left, med);
    // 以 nums[left] 作为基准数
    // 下同省略...
}
quick_sort.py
""" 选取三个元素的中位数 """
def median_three(self, nums, left, mid, right):
    # 使用了异或操作来简化代码
    # 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
    if (nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right]):
        return left
    elif (nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] > nums[right]):
        return mid
    return right

""" 哨兵划分（三数取中值） """
def partition(self, nums, left, right):
    # 以 nums[left] 作为基准数
    med = self.median_three(nums, left, (left + right) // 2, right)
    # 将中位数交换至数组最左端
    nums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]
    # 以 nums[left] 作为基准数
    # 下同省略...
quick_sort.go
/* 选取三个元素的中位数 */
func medianThree(nums []int, left, mid, right int) int {
    if (nums[left] > nums[mid]) != (nums[left] > nums[right]) {
        return left
    } else if (nums[mid] < nums[left]) != (nums[mid] > nums[right]) {
        return mid
    }
    return right
}

/* 哨兵划分（三数取中值）*/
func partition(nums []int, left, right int) int {
    // 以 nums[left] 作为基准数
    med := medianThree(nums, left, (left+right)/2, right)
    // 将中位数交换至数组最左端
    nums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]
    // 以 nums[left] 作为基准数
    // 下同省略...
}
quick_sort.js
/* 选取三个元素的中位数 */
function medianThree(nums, left, mid, right) {
    // 使用了异或操作来简化代码
    // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
    if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right]))
        return left;
    else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
        return mid;
    else
        return right;
}

/* 哨兵划分（三数取中值） */
function partition(nums, left, right) {
    // 选取三个候选元素的中位数
    let med = medianThree(nums, left, Math.floor((left + right) / 2), right);
    // 将中位数交换至数组最左端
    swap(nums, left, med);
    // 以 nums[left] 作为基准数
    // 下同省略...
}
quick_sort.ts
/* 选取三个元素的中位数 */
function medianThree(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): number {
    // 使用了异或操作来简化代码
    // 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
    if (Number(nums[left] > nums[mid]) ^ Number(nums[left] > nums[right])) {
        return left;
    } else if (Number(nums[mid] < nums[left]) ^ Number(nums[mid] < nums[right])) {
        return mid;
    } else {
        return right;
    }
}

/* 哨兵划分（三数取中值） */
function partition(nums: number[], left: number, right: number): number {
    // 选取三个候选元素的中位数
    let med = medianThree(nums, left, Math.floor((left + right) / 2), right);
    // 将中位数交换至数组最左端
    swap(nums, left, med);
    // 以 nums[left] 作为基准数
    // 下同省略...
quick_sort.c
quick_sort.cs

尾递归优化

普通快速排序在某些输入下的空间效率变差。 仍然以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 0 ，那么将形成一个高度为 \(n - 1\) 的递归树，此时使用的栈帧空间大小劣化至 \(O(n)\) 。

为了避免栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，判断两个子数组的长度大小，仅递归排序较短的子数组。由于较短的子数组长度不会超过 \(\frac{n}{2}\) ，因此这样做能保证递归深度不超过 \(\log n\) ，即最差空间复杂度被优化至 \(O(\log n)\) 。

quick_sort.java
/* 快速排序（尾递归优化） */
void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 子数组长度为 1 时终止
    while (left < right) {
        // 哨兵划分操作
        int pivot = partition(nums, left, right);
        // 对两个子数组中较短的那个执行快排
        if (pivot - left < right - pivot) {
            quickSort(nums, left, pivot - 1);  // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1;  // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}
quick_sort.cpp
/* 快速排序（尾递归优化） */
static void quickSort(vector<int>& nums, int left, int right) {
    // 子数组长度为 1 时终止
    while (left < right) {
        // 哨兵划分操作
        int pivot = partition(nums, left, right);
        // 对两个子数组中较短的那个执行快排
        if (pivot - left < right - pivot) {
            quickSort(nums, left, pivot - 1);  // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1;  // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}
quick_sort.py
""" 快速排序（尾递归优化） """
def quick_sort(self, nums, left, right):
    # 子数组长度为 1 时终止
    while left < right:
        # 哨兵划分操作
        pivot = self.partition(nums, left, right)
        # 对两个子数组中较短的那个执行快排
        if pivot - left < right - pivot:
            self.quick_sort(nums, left, pivot - 1)  # 递归排序左子数组
            left = pivot + 1     # 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
        else:
            self.quick_sort(nums, pivot + 1, right)  # 递归排序右子数组
            right = pivot - 1    # 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
quick_sort.go
/* 快速排序（尾递归优化）*/
func quickSort(nums []int, left, right int) {
    // 子数组长度为 1 时终止
    for left < right {
        // 哨兵划分操作
        pivot := partition(nums, left, right)
        // 对两个子数组中较短的那个执行快排
        if pivot-left < right-pivot {
            quickSort(nums, left, pivot-1)   // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1                 // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            quickSort(nums, pivot+1, right)  // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1                // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}
quick_sort.js
/* 快速排序（尾递归优化） */
function quickSort(nums, left, right) {
    // 子数组长度为 1 时终止
    while (left < right) {
        // 哨兵划分操作
        let pivot = partition(nums, left, right);
        // 对两个子数组中较短的那个执行快排
        if (pivot - left < right - pivot) {
            quickSort(nums, left, pivot - 1);  // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1;  // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}
quick_sort.ts
/* 快速排序（尾递归优化） */
function quickSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
    // 子数组长度为 1 时终止
    while (left < right) {
        // 哨兵划分操作
        let pivot = partition(nums, left, right);
        // 对两个子数组中较短的那个执行快排
        if (pivot - left < right - pivot) {
            quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}
quick_sort.c
quick_sort.cs